小資理財的入門觀念-談債券的特性及風險 (中)

債券的重要概念 – 談談存續期間

接續債券討論的(上)篇內容所說,債券的價格是根據未來的每期現金流,利用市場利率的複利概念回推的現值總和。所以距離到期日越長,債券價格受市場利率的影響就越大。

有沒有量化指標可以衡量每個債券對市場利率的敏感度呢?

這個觀念不難了解,但是有沒有量化的方法可以來評估不同債券之間甚或是持有多檔債券的共同基金或是ETF彼此之間對市場利率變化的敏感度呢? 聰明的財務金融家當然想到了一個可以量化債券價格受市場利率變化的指標,這個指標的名稱就是存續期間(duration)。

這指標怎麼計算呢?因為債券的到期日還有票面利率是固定的,對於債券價格唯一的變數是市場利率,所以我們可以將債券價格表示成一個市場利率的函數。

然後因為我們希望看到的是市場利率變化跟債券價格變化的關係,如果了解微積分概念的理工科朋友,一定聰明的想到,只要我們將債券價格視為市場利率的一個函數,則我們只要對想觀察的變化量對象做微分就可以得到債券價格的變化量。

所以存續期間這個指標其實就是將債券價格的函數對(1+市場利率)做微分的結果,所以存續期間的意義其實就是,(1+市場利率)每變化1%,債券價格會反向變化幾%

這邊用(1+市場利率)來微分,是因為我們利用複利回推每期現金流現值的方法都是去除上(1+市場利率)的n次方,所以直接把這個值想成一個代數來做微分即可。

修正後的存續期間更能貼近投資人的需求

不過上述存續期間的變化量關係,是基於(1+市場利率)的變化比例來得到債券價格的變化比例。對投資人來說有點繞口不是這麼直接,對投資人來說好用的指標應該市場利率每變化1%,債券價格會變化幾%這類型比較直接的指標。

所以一樣再根據數學的推導,我們可以得到一個修正存續期間(modified duration),這個指標其實就是存續期間去除上(1+市場利率)。這個修正存續期間的意義就是真正市場利率每變化1%,債券價格會變化多少的指標

上面的描述對於文科同學可能不是這麼好理解,勳仔也不想列出微分推導公式的過程,不然可能把很多人嚇跑了,這邊直接舉上篇文章提到的例子來當作範例如何計算存續期間,讓文科理科的所有朋友都可以有個Feeling。

上一文章提到的例子,是假設有一個債權,可以在第一年跟第二年分別帶來2000元跟10萬2000元的現金流收入。這時候我們將年分1的現金流去除上(1+市場利率)可以得到回推的現值是1941.75元,另外年份二的現金流去除上(1+市場利率)^2,則可以回推到現值是96144.78元。

上述回推現值的過程已經在前一篇文章描述過,接著我們可以計算出這兩個年份現金流回推現值佔整個債權現值比例分別為何,將比例算出來之後,就可以將這個比例分別乘上對應的年份,接著一樣將所有加權計算的部分加總,得出來的結果就是存續期間。

至於修正後的存續期間,只要將前面計算出來的存續期間在去除上(1+市場利率),以上面的例子為例,就是將1.98/(1+3%)則可以得到修正後的存續期間為1.922。 這就代表了,當市場利率每上升1%,這個債券的合理價格就需要下降大約1.922%。

心得& 後記

剛接觸債券的時候聽到存續期間總是容易會跟債券的到期日觀念搞混。這邊要特別強調的事是,不要把存續期間想成跟債券到期有關,他真正內涵意義是債券價格對市場利率的敏感度有多高

對於投資人來說,修正後存續期間所代表的意思比存續期間更直接能讓投資人清楚理解債券價格變化跟市場利率的敏感度

升息循環中,應該盡量挑選存續期間短的債券基金或ETF,因為代表跟市場利率的連動性相對存續期間長的債券基金,相對是來的小,比較不會賺了配息卻賠了價差。相反的,降息循環,可以挑選存續期間長的債券基金或是ETF,可以讓你不只賺到配息,又可以賺到價差。

這波新冠肺炎中,美國聯準會大動作調降利率達到四碼,這時候存續期間較長的債券ETF或是基金(EX:美國20+年期公債ETF的TLT),相對短天期的(EX: 美國3-7年期公債ETF : IEI),就會有比較高的漲幅來彌補股票市場的虧損。不過如果等到聯準會降息之後才搶進長天期公債的投資人就要特別小心,一旦疫情趨緩,聯準會是否會立刻調高利率,如果會,就要小心長天期債券會帶來較大的跌價損失。

因為存續期間的計算,是將債券價格視為市場利率的一個函數之後,在對其微分來得到債券價格變化率跟市場利率變化率的一個關係。微分的觀念,其實就是在對函數的每個點去取斜率。然而,因為債券價格函數本身是曲線而不是一條直線,所以當市場利率處於不同數值的時候,取出來的斜率不會都一樣,所以存續期間的計算跟市場利率是完全要一起考慮的。並且當市場利率變化量太大的時候,這時候所計算出來的存續期間會偏差較多而有點失真,一樣也是因為債券價格函數是曲線而不是筆直的一條線,這點要記在心裡。

小資理財的入門觀念-談債券的特性及風險 (上)

理財入門課 – 債券的特性及風險

只要剛接觸理財的投資人,一定常聽到如何持有不同股債比例來達到資產配置的方法,但是對比大家熟知的股票,債券對於投資新手來說,似乎真正了解的人不是這麼多,這篇讓我們一起來認識債券吧。

何謂債券?

債券,顧名思義就是持有債權的一種有價證券白話點,就是當別人欠你錢,你會持有借據來當作對方需負擔付息以及歸還本金義務的一種憑證。上面會記載對方欠你多少錢,多久要還,然後借貸期間每隔多久對方需要支付利息以及利息的數量等等資訊。

民間的借貸關係就是傳統的借據,一旦借錢方的借貸規模跟層級拉到比較高的等級,就會發行債券,讓公開市場的投資人來自由購買。

債券發行的主體?

目前債券發行的主體可以分為國家,金融機構,還有私人公司。可想而知,這三種發行主體,也就約略代表了我們需要承擔的風險。例如:借錢給美國政府跟借錢給福特汽車,你覺得誰最後還不出錢而倒債的風險比較高呢?我想應該顯而易見借錢給美國政府的風險會比借錢給私人企業還要來的風險低。

債券像是借據,那為什麼還有價格變化呢?

不過通常剛接觸債券的人一定覺得奇怪,如果說債券像是借據,那我持有到期,只要欠錢的人沒有倒閉,我不就可以拿到一開始借給他的本金還有他給我的利息,這樣不就穩賺不賠嗎?

不過現實的狀況是,還是常常會聽到債券仍然有賺賠,這到底爲什麼呢?原因是債券可以在公開市場交易流通的,你賣出或買進的時間距離債券到期日多久,還有市場利率變化都會影響債券價格

試想下列這種情況:小明借錢給小王十萬塊,雙方約定好三年後還本金,然後每年小王都支付2000塊的利息給小明。當小明收到第一次利息之後,因為急需現金,所以打算將手邊有的這個借據賣給小陳來換回現金。

小陳精打細算,聽到小明說要用十萬塊價格賣給他,他打開計算機算了一下,這樣花了十萬塊出去,兩年後,他除了拿回十萬塊,額外可以在拿到2000×2=4000塊,總共拿回的是十萬四千元。

小陳接著再想,如果這筆十萬塊,他不要跟小明買這個借據,他拿去定存,定存利率這一年升高到3%,這樣投入十萬塊來滾兩年複利可以得到10萬x1.03×1.03=10.609萬,也就是除了一開始的十萬,他能夠賺到6090元,所以他跟小王說除非他降價賣,不然他去定存就好。

這時候換小明來想,我極缺現金,降價賣可以,但是我要降到多少,才能說服精打細算的小陳呢? 於是乎小明也打開計算機來,如果小陳拿這十萬塊去定存,兩年後複利滾存之後能得到10.609萬,這邊也利用到前幾篇文章提到的現金流+複利概念來算出內部報酬率IRR,如果內部報酬率要高於定存,則小明至少要降價到9萬8000元左右,才對小陳有吸引力,因為這時候的IRR才可以高過定存。

這邊年分0指的是期初要掏出多少錢來定存或是購買債權,此時現金流是負的,因為是從我們口袋掏錢出來。

年分1,指的是一年過後,因為小明債權比較像是每個年份的單利,就是固定每年可以拿到2000元進到口袋,並不會把它算到一開始的本金來計息。但是這邊的定存假定是複利計息,年分1這時候定存契約還沒到期,所以並沒有發還利息,而是將這個利息合進本金然後繼續在下一個年度計息,所以年分1的定存現金流為0,但是債券的現金流是2000元。

年分2,指的是兩年過後,定存跟債權都到期,所以兩種做法都可以拿回定存的本金10萬塊或是小明借據上標示的10萬塊借款金額。但是對於小明的債權,因為還是單利,所以除了拿回10塊的借款金額,還可以拿到每年給付的2000塊利息,所以總額是10.2萬。

至於定存,因為本金滾了兩年的複利,所以約滿拿到的總額是10*(1.03)*(1.03)=10.609萬的本+息。

將上述資訊用Excel的IRR 函式來試算,我們就可以自己調整一開始要付給小明金額那個欄位直到算出來的IRR會比定存高。我們可以發現,如果小明想順利把這個借據賣給小陳,則他必須賣的比9萬八千塊還低,才有可能賣得掉,可是當初他是借給小王10萬元,一來一往小明的本金就虧損了2000元。

有發現了嗎? 債券的價格,其實在發行之後,主要是跟著市場利率在變動而跟原本債券上面標示給付的票面利率關係比較小,因為票面利率是固定的,所以未來某個時間點的現金流是固定的,但是市場利率會隨著總體經濟而有著不同變化。對於投資人來說,定存可以視為無風險資產,要我願意把錢拿去買債券,就必須投資這個債券的投報率會比定存的複利滾存還要高,不然就變得沒有吸引力。

債券價值其實就是利用複利觀念回推未來現金流的現有價值

其實前一篇複利文章概念有提過,因為複利的關係,一樣金額的錢在每個時間的實際價值都不一樣。債券的概念就是將未來每個時間點會領到的現金流往前回推到目前這個時間點的實際價值然後做加總,就可以得到目前這個債券商品的現值是多少。

而回推的這個流程,我們要使用的複利利率就是當前市場利率的值,這原因就是因為我們認為市場利率是類似定存能夠帶給你的複利報酬,這個是無風險的,所以推算債券現值要以機會成本的考量去使用目前市場利率而不是票面利率來估算現值,這點觀念是非常重要。

(製圖:勳仔)

我們將上面Excel的現金流量分不同期別來看,第一年過後,小明的債權可以獲得0.2萬的利息現金流,這個往前推到期初的時候,就可以用0.2/(1+3%) (假設定存利率是3%)而得到現在我只要有0.194萬投入3%的定存,一年後我就可以得到0.2萬。

接著算第二年期滿之後,小明的債權可以獲得10萬塊的本金加上0.2萬的利息,所以可以拿到10.2萬。因為這個距離期初已經兩期了,所以回推到期初我如果投入10.02/((1.+3%)^2=9.614萬到複利計息的定存裡,兩年後我就可以拿到10.2萬

將上述兩筆現金流回推出的初期投入金額相加總,就可以得到小明債權的合理價格為9.614+0.194=9.808萬,這就跟用Excel的IRR函式所推算出來的值是一樣的,因為兩者其實就是一樣的觀念。

心得 & 後記

債券價值就是將未來的現金流用複利的觀念,回推到目前的現值為多少

距離到期日越久,因為未來某期現金流回推現值的公式為 (未來的某期現金流/(1+利率)^n) (n為現在到未來現金流發生的時間點中隔了幾期)。而債券價格是這些回推到現值的現金流的加總,所以距離到期日越久的債券,它的價格受到市場利率的變化就越大

所以二十年以上的美國公債對比三年的美國公債,一旦聯準會發布利率調整,二十年期的美國公債受影響程度一定會大於三年期的美國公債。

如果債券不能交易,一旦發行之初認購,就必須持有到到期,則只要發行主體不倒閉,則投資人不會有虧損,因為債券約定到期之後就需要將本金返還。投資債券會有價差導致的賺賠,主要原因就在於債券是可以買賣流通的。