標籤: 修正存續期間

接續債券討論的（上）篇內容所說，債券的價格是根據未來的每期現金流，利用市場利率的複利概念回推的現值總和。所以距離到期日越長，債券價格受市場利率的影響就越大。

有沒有量化指標可以衡量每個債券對市場利率的敏感度呢?

這個觀念不難了解，但是有沒有量化的方法可以來評估不同債券之間甚或是持有多檔債券的共同基金或是ETF彼此之間對市場利率變化的敏感度呢？ 聰明的財務金融家當然想到了一個可以量化債券價格受市場利率變化的指標，這個指標的名稱就是存續期間（duration)。

這指標怎麼計算呢？因為債券的到期日還有票面利率是固定的，對於債券價格唯一的變數是市場利率，所以我們可以將債券價格表示成一個市場利率的函數。

然後因為我們希望看到的是市場利率變化跟債券價格變化的關係，如果了解微積分概念的理工科朋友，一定聰明的想到，只要我們將債券價格視為市場利率的一個函數，則我們只要對想觀察的變化量對象做微分就可以得到債券價格的變化量。

所以存續期間這個指標其實就是將債券價格的函數對（1+市場利率）做微分的結果，所以存續期間的意義其實就是，（1+市場利率）每變化1%，債券價格會反向變化幾%。

這邊用（1+市場利率）來微分，是因為我們利用複利回推每期現金流現值的方法都是去除上（1+市場利率）的n次方，所以直接把這個值想成一個代數來做微分即可。

修正後的存續期間更能貼近投資人的需求

不過上述存續期間的變化量關係，是基於（1+市場利率）的變化比例來得到債券價格的變化比例。對投資人來說有點繞口不是這麼直接，對投資人來說好用的指標應該市場利率每變化1%，債券價格會變化幾%這類型比較直接的指標。

所以一樣再根據數學的推導，我們可以得到一個修正存續期間（modified duration)，這個指標其實就是存續期間去除上（1+市場利率）。這個修正存續期間的意義就是真正市場利率每變化1%，債券價格會變化多少的指標。

上面的描述對於文科同學可能不是這麼好理解，勳仔也不想列出微分推導公式的過程，不然可能把很多人嚇跑了，這邊直接舉上篇文章提到的例子來當作範例如何計算存續期間，讓文科理科的所有朋友都可以有個Feeling。

上一文章提到的例子，是假設有一個債權，可以在第一年跟第二年分別帶來2000元跟10萬2000元的現金流收入。這時候我們將年分1的現金流去除上(1+市場利率)可以得到回推的現值是1941.75元，另外年份二的現金流去除上(1+市場利率)^2，則可以回推到現值是96144.78元。

上述回推現值的過程已經在前一篇文章描述過，接著我們可以計算出這兩個年份現金流回推現值佔整個債權現值比例分別為何，將比例算出來之後，就可以將這個比例分別乘上對應的年份，接著一樣將所有加權計算的部分加總，得出來的結果就是存續期間。

至於修正後的存續期間，只要將前面計算出來的存續期間在去除上(1+市場利率)，以上面的例子為例，就是將1.98/(1+3%)則可以得到修正後的存續期間為1.922。 這就代表了，當市場利率每上升1%，這個債券的合理價格就需要下降大約1.922%。

心得& 後記

剛接觸債券的時候聽到存續期間總是容易會跟債券的到期日觀念搞混。這邊要特別強調的事是，不要把存續期間想成跟債券到期有關，他真正內涵意義是債券價格對市場利率的敏感度有多高

對於投資人來說，修正後存續期間所代表的意思比存續期間更直接能讓投資人清楚理解債券價格變化跟市場利率的敏感度

升息循環中，應該盡量挑選存續期間短的債券基金或ETF，因為代表跟市場利率的連動性相對存續期間長的債券基金，相對是來的小，比較不會賺了配息卻賠了價差。相反的，降息循環，可以挑選存續期間長的債券基金或是ETF，可以讓你不只賺到配息，又可以賺到價差。

這波新冠肺炎中，美國聯準會大動作調降利率達到四碼，這時候存續期間較長的債券ETF或是基金(EX:美國20+年期公債ETF的TLT)，相對短天期的(EX: 美國3-7年期公債ETF : IEI)，就會有比較高的漲幅來彌補股票市場的虧損。不過如果等到聯準會降息之後才搶進長天期公債的投資人就要特別小心，一旦疫情趨緩，聯準會是否會立刻調高利率，如果會，就要小心長天期債券會帶來較大的跌價損失。

因為存續期間的計算，是將債券價格視為市場利率的一個函數之後，在對其微分來得到債券價格變化率跟市場利率變化率的一個關係。微分的觀念，其實就是在對函數的每個點去取斜率。然而，因為債券價格函數本身是曲線而不是一條直線，所以當市場利率處於不同數值的時候，取出來的斜率不會都一樣，所以存續期間的計算跟市場利率是完全要一起考慮的。並且當市場利率變化量太大的時候，這時候所計算出來的存續期間會偏差較多而有點失真，一樣也是因為債券價格函數是曲線而不是筆直的一條線，這點要記在心裡。